已知函数f(x)=x^3+b^2+cx+d在(-∞,2]上单调递增……

f(x)=x^3+bx^2+cx+d(题目中b^2是bx^2吧？）
f'(x)=3x^2+2bx+c
f(x)在（－∞，0]上递增 [0，2]上递减，说明x=0是它的驻点，即f'(0)=0;
所以c=0;f(x)=x^3+bx^2+d,
f'(x)=3x^2+2bx=0的两个根为x=0,x=-2b/3,由于f(x)=0的三个根满足α<2<β，画图可知，α<0<2<-2b/3<β
知b<-3;
由f(2)=0;得8+4b+d=0;故f(1)=1+b+d=-3b-7>2

由题，f(x)可写成(x-2)(x-α)(x-β)=x^3-(α+β+2)*x^2+(αβ+2α+2β)*x-2αβ
与f(x)=x^3+bx^2+d对应系数知αβ+2α+2β＝0；
β＝-2α/(2+α)>2;（且α〈0）
得-1>α>-2
故｜α—β｜＝β-α=-2α/(2+α)-α=[4-(α+2)^2]/(α+2)
=4/(2+α)-(2+α),
令g(x)=4/x-x;（x=2+α)
因为0〈（2+α)〈1
故讨论0<x<1时g(x)的范围即可；
g'(x)=-4/x^2-1<0;g(x)为递减函数，所以
g(x)的取值范围是（g(1),g(0))即（3,+∞）
也就是｜α—β｜的范围。

看看这里的22题解答：